Determinan dan Matriks Invers || Aljabar Linier

BAB II

DETERMINAN

Tujuan Instruksional Umum (TIU)

Mahasiswa mampu menguasai konsepsi dasar Matriks dan Transformasi Linier yang terdiri dari pokok bahasan Matriks, Determinan, SPL, Vektor dan Transformasi Linier sebagai pendukung ilmu pengetahuan dibidang komputasi.

Tujuan Instruksional Khusus (TIK)

Mahasiswa mampu mendefinisikan determinan, menghitung determinan ordo kecil maupun ordo besar, serta menghitung minor maupun kofaktor

Kata Kunci

Determinan, Ordo besar, Ordo kecil, Minor, Kofaktor.

Media Pembelajaran

Dalam bab ini media pembelajaran yang digunakan meliputi :white board, spidol, LCD Proyektor, laptop.

2.1.        KONSEPSI DETERMINAN

Sudah dikenal bahwa fungsi f(x) = x² mengasosiasikan sebuah bilangan riil f(x) dengan sebuah nilai riil dari variabel x. Karena x dan f(x) kedua-duanya hanya mempunyai nilai riil, maka fungsi-fungsi seperti itu dapat digambarkan sebagai fungsi yang bernilai riil dan sebuah variabel riil. Akan dikaji fungsi bernilai riil dari sebuah variabel matriks, yaitu fungsi yang mengasosiasikan sebuah bilangan riil f(x) dengan sebuah matriks X. Yang utama dari pengkajian ini diperuntukan bagi satu fungsi yaitu fungsi determinan.Setiap matriks bujur sangkar A biasanya selalu dikaitkan dengan suatu skalar yang disebut determinan matriks tersebut, dan ditulis dengan det(A) atau |A|. Untuk mencari harga determinan suatu matriks ada berbagai macam cara. Cara mencari determinan yang sudah banyak dikenal adalah mencari determinan matriks untuk matriks bujur sangkar ordo (2x2) dan ordo (3x3) sangat umum.

Sebelum mampu mendefinisikan fungsi determinan, terlebih dahulu perlu diketahui beberapa definisi berikut ini.

Definisi :

Sebuah permutasi himpunan bilangan-bilangan bulat {1, 2, …, n} adalah sebuah susunan bilangan-bilangan bulat menurut suatu aturan tanpa menghilangkan atau mengulangi bilangan-bilangan tersebut.

Contoh.

Ada 6 permutasi berbeda dari himpunan bilangan-bilangan bulat {1, 2, 3} yaitu {1,2,3},{2,1,3},{3,1,2},{1,3,2},{2,3,1},{3,2,1}.

Catatan :

Jika terdapat n buah bilangan asli 1, 2, 3,…, n makanya banyaknya permutasi yang dapat dibentuk adalah n! = n(n-1)(n-2) … 2, 1.

Definisi :

Yang dimaksud sebuah inversi pada suatu permutasi (j_1, j₂,…, j_n) adalah j_k< j_i (j_k mendahului  j_i padahal j_i< j_k (I dan k = 1, 2, …, n).

Contoh :

Misalnya dengan sebuah inversi pada suatu permutasi tersebut adalah 5 inversi karena :

a.      J₁ = 4 mendahului j₂ = 3 padahal 3 < 4

b.     J₁ = 4 mendahului j₃ = 1 padahal 1 < 4

c.      J₁ = 4 mendahului j₄ = 3 padahal 3 < 4

d.     J₂ = 3 mendahului j₃ = 1 padahal 1 < 3

e.      J₂ = 3 mendahului j₄ = 2 padahal 2 < 3

Definisi :

Sebuah permutasi dikatakan genap (even) jika jumlah inversi seluruhnya adalah sebuah bilangan bilangan bulat yang genap dan dikatakan ganjil (odd) jika jumlah inversi seluruhnya adalah sebuah bilangan bilangan bulat yang ganjil. Pada permutasi (4,3,1,2) jumlah inversinya adalah 5 maka permutasi tersebut adalah ganjil.

Definisi :

Yang diartikan sebagai hasil perkalian elementer dari matriks A adalah setiap perkalian n elemen dari A, yang tidak boleh dua diantaranya yang berasal dari baris yang sama atau kolom yang sama.

Jika Sebuah matriks A berordo (nxn) mempunyai n! hasil perkalian elementer. Hasil-hasil perkalian elementer tersebut adalah hasil-hasil perkalian yang berbentuk a_1j1,a_2j2, … , a_njn dimana (j₁, j₂, … , j_n) adalah sebuah permutasi dari himpunan {1,2,3, … , n}. Yang diartikan dengan hasil sebuah perkalian elementer bertanda dari A adalah sebuah hasil perkalian elementer a_1j1, a_2j2, … , a_njn dikalikan dengan (+1) atau (-1). Digunakan tanda (+1) jika (j₁, j₂, … , j_n) adalah sebuah permutasi genap dan tanda (-1) jika (j₁, j₂, … , j_n) adalah sebuah permutasi ganjil.

Contoh :

Diketahui matriks A =

Hasil Pekalian elementer	Permutasi yang diasosiasikan	Genap atau ganjil	Hasil perkalian elementer yang bertanda
a11a22a33 a11a23a32 a12a21a33 a12a23a31 a13a21a32 a13a22a31	(1,2,3) (1,3,2) (2,1,3) (2,3,1) (3,1,2) (3,2,1)	Genap Ganjil Ganjil Genap Genap Ganjil	a11a22a33 -a11a23a32 -a12a21a33 a12a23a31 a13a21a32 -a13a22a31

Definisi :

Misalkan A adalah suatu matriks bujursangkar, maka fungsi determinan (determinant function) yang dinyatakan dengan det(A), dan didefinisikan det(A) sebagai jumlah semua hasil perkalian elementer yang bertanda dari matriks A.

2.2.        DETERMINAN MATRIKS ORDO (2X2) DAN ORDO (3X3)

Diketahui suatu matriks A =   , maka determinan dari matriks A yaitu det(A) atau |A| berdasarkan definisi diatas adalah :

det(A) = |A| =   = a₁₁a₂₂ – a₁₂a₂₁

Contoh :

Hitunglah determinan dari matriks A =  !

Jawab :

det(A) = |A| =  = 3.(-2) – 1.4 = -6 – 4 = -10

Sedangkan untuk matriks yang berordo (3x3) dapat dihitung determinannya dengan menggunakan cara sebagai berikut :

Diketahui suatu matriks A = , maka determinan dari matriks A yaitu det(A) atau |A| berdasar definisi diatas adalah :

det(A) = |A| =

= a₁₁a₂₂a₃₃ + a₁₂a₂₃a₃₁ + a₁₃a₂₁a₃₂ - a₁₃a₂₂a₃₁ - a₁₂a₂₁a₃₃ - a₁₁a₂₃a₃₂

Untuk memudahkan perhitungan dapat digunakan metode (yang dikenal dengan metode sarrus) yaitu dengan cara menambahkan kolom pertolongan dengan menambahkan kolom kesatu dan kolom kedua dilatakkan disebelah kanan kolom ketiga. Sehingga determinan dari matriks A diatas dapat diperoleh dengan cara :

|A| =

= a₁₁a₂₂a₃₃ + a₁₂a₂₃a₃₁ + a₁₃a₂₁a₃₂ - a₁₃a₂₂a₃₁ - a₁₂a₂₁a₃₃ - a₁₁a₂₃a₃₂

Peringatan : (metode sarrus hanya berlaku untuk matriks yang berordo (3x3), sedangkan untuk matriks yang berordo lebih dari (3x3) metode tersebut tidak berlaku.

 Contoh :

Hitunglah determinan dari matriks A =

Jawab

Det(A) = |A| =

= 

= 2.(-2).(-1) + (-4).3.5 + 1.1.1 – 1.(-2).5 – 2.3.(-1) – (-4).1.(-1)

= 4 – 60 + 1 + 10 – 6 – 4

= -55

2.3.        SIFAT-SIFAT DETERMINAN

1.        Jika A adalah sembarang matriks bujursangkar yang mengandung sebaris bilangan nol maka det(A) = 0

2.        Jika A adalah matriks segitiga yang berordo (nxn), maka det(A) adalah hasil perkalian dari elemen-elemen yang terletak pada diagonal utama, yaitu det(A) = a₁₁, a₂₂, a₃₃, … , a_nn.

Contoh:

det(A) =  = 8.(-1).2 = -16

3.        Misalkan A adalah sembarang matriks bujursangkar yang berordo (nxn), maka :

a.    Jika A₁ adalah matriks bujursangkar yang dihasilkan bila sebaris dari matriks A dikalikan dengan sebuah konstanta k (operasi elementer H_i^(k)(A)) maka det(A₁) = k det(A).

b.    Jika A₂ adalah matriks yang menghasilkan bila dua baris dari matriks A diperlukan tempatnya (operasi elementer H_ij(A)), maka det(A₂) =  - det(A).

c.    Jika A₃adalah matriks yang dihasilkan bila sebuah kelipatan dari satu baris matriks A ditambahkan kepada baris yang lain (operasi elementer H_ij^(k)(A)), maka det(A₃) = det(A).

Contoh

A =  , A₁ = H₁⁽²⁾(A) =

A₂ = H₁₂(A) =  dan A₃ = H₂₃^(-2)(A) =

Dengan metode sarrus dapat diperoleh :

det(A) = 1.1.1 + 2.4.1 + 3.0.2 – 3.1.1 – 1.4.2 – 2.0.1

= 1 + 8 + 0 – 3 – 8 – 0

= -2

Berdasarkan sifat 3a maka det(A₁) = k.det(A) = 2.(-2) = -4

Berdasarkan sifat 3b maka det(A₂) = - det(A) = - (-2) = 2

Berdasarkan sifat 3c maka det(A₃) = det(A) = - 2

4.        Jika A adalah suatu matriks bujursangkar yang mempunyai dua baris yang sebanding, maka det(A) = 0

5.        Jika A adalah matriks bujursangkar dan AT merupakan transpose dari matriks A maka det(A) = det(AT).

6.        Jika A adalah matriks yang berordo (nxn) dan k adalah suatu skalar maka det (kA) = k.n det (A).

7.        Misalkan A, B dan C adalah matriks yang berordo (nxn) yang hanya berbeda didalam sebuah baris tunggal, katakanlah baris ke-r, dan anggaplah baris ke-r dari C dapat diperoleh dengan menambahkan elemen-elemen yang bersangkutan didalam baris ke-r dari A dan didalam baris ke-r dari B maka det(C) = det(A) + det(B).

Contoh .

A =        B =         C =

det  = det  + det

8.        Jika A dan B adalah matriks bujursangkar yang ordonya sama, maka det(AB) = det(A).det(B)

Contoh.

A =  , B =  dan AB =   maka dapat diperoleh det(A).det(B) = 1.(-23) = -23, sehingga det(AB) = det(A).det(B)                 

2.4.        MINOR DAN KOFAKTOR

Definisi:

Jika terdapat suatu matriks A_ij dengan ordo nxn maka terdapat suatu submatriks M_ij dengan ordo (n-1) x (n-1) yang didapat dengan cara elemen baris ke-i dan kolom ke-j dari matriks A dihilangkan atau jika A adalah suatu matriks bujursangkar berordo nxn, maka minor dari elemen a_ijdinyatakan oleh M_ij(A) dan didefinisikan sebagai determinan dari sub matriks yang tersisa (tinggal) setelah baris ke-i dan kolom ke-j dicoret dari matriks A.

Sedangkan bilangan (-1)^(i+j) M_ij(A) dinyatakan oleh C_ij(A) yang dinamakan kofaktor dari elemen a_ij. Matriks kofaktor dari matriks A dinyatakan dengan Kof(A)adalah suatu matriks yang elemen-elemennya merupakan kofaktor dari elemen a_ij. Jadi Kof(A) = [C_ij(A)] =

Sedangkan Adjoin dari matriks A yang dinyatakan dengan Adj(A) adalah transposisi dari matriks Kofaktor, jadi Adj(A) = [Kof(A)]^T.

Jadi Adj(A) = [C_ij(A)] =

Contoh.

Misalkan A =  maka M₁₁(A) =  = 40 – 24 = 16

M₃₂(A) =  = 18 – (-8) = 26. Sedangkan Kofaktor dari elemen a₁₁ adalah C₁₁(A) = (-1)¹⁺¹M₁₁(A) = 1.16 = 16, dan Kofaktor dari elemen a₃₂ adalah C₃₂(A) = (-1)³⁺²M₃₂(A) = (-1).26 = -26.

Sebagai latihan dapat dihitung Minor dan Kofaktor untuk eleme-elemen a₁₂, a₁₃, a₂₁, a₂₂, a₂₃, a_31, dan a₃₃. Setelah semua Minor dan Kofaktor dari elemen matriks A diperoleh, maka dapat ditentukan Matrik Mnor dan Adjoinnya.

2.5.        EKSPANSI KOFAKTOR

Determinan sebuah matriks A yang berordo (nxn) dapat dihitung dengan cara mengalikan elemen-elemen didalam suatu baris (kolom) dengan kofaktor-kofaktornya dan menambahkan hasil-hasil perkalian yang dihasilkan, yaitu de(A) = a_1j C_1j(A) + a_2j C_2j(A) + … + a_nj C_nj(A) = untuk j = 1,2,…,n (Ekspansi kofaktor sepanjang kolom ke-j)

dan det(A) = a_i1 C_i1(A) + a_i2 C_i2(A) + … + a_in C_in(A) =

untuk i = 1,2,…,n (Ekspansi kofaktor sepanjang baris ke-i)

2.6.        DETERMINAN MATRIKS ORDO BESAR

Untuk menentukan determinan matriks ordo besar dapat digunakan Ekspansi Kofaktor, tetapi akan memakan waktu lama dan membutuhkan perhitungan angka yang besar pula. Agar perhitungannya tidak begitu besar dan waktu penyelesaiaannya lebih singkat dengan mengkombinasikan dengan operasi elementer, sifat-sifat determinan dan ekspansi kofaktor. Adapun caranya sebagai berikut :

1.     Carilah baris atau kolom yang sudah mengandung banyak nilai nol, atau cari baris atau kolom yang banyak mengandung elemen 1 atau -1 kalau tidak ada maka transformasikan matriks tersebut dengan operasi elementer (H_i^(λ)) atau (K_i^(λ))sehingga mendapatkan elemen 1 atau -1 dengan memperhatikan sifat-sifat determinan.

2.     Jadikan nol semua elemen baris atau kolom yang dipilih dengan elemen 1 atau -1 dengan operasi elementer (H_i^(λ)) atau (K_i^(λ)) yang dipilik serta memuat elemen 0 paling banyak.

Catatan

Matriks yang mempunyai determinan = 0 dinamakan matriks singular sedangkan Matriks yang mempunyai determinan ≠ 0 dinamakan matriks no singular.

Contoh :

Hitunglah =  !                   

Jawab.

Sesuai cara nomor (1) kita bisa memilih kolom ke-1 yang memuat elemen 1, maka sisa elemen pada kolom ke-1 yaitu a₂₁, a₄₁ dan a₅₁ dijadikan 0 dengan operasi elementer H₂₁^(-2), H₄₁^(-1) dan H₅₁^(-2), sehingga diperoleh matriks:

= dengan ekspansi sepanjang kolom ke-1 diperoleh

= a₁₁.C₁₁ + a₂₁.C₂₁ + a₃₁.C₃₁ + a₄₁.C₄₁ + a₅₁.C₅₁

(dimana nilai a₂₁, a₃₁, a₄₁, a₅₁adalah 0 sehingga tidak perlu mencari C₂₁,C_31,C_{41 dan} C₅₁ maka diperoleh sebagai berikut :

= 1. (-1)¹⁺¹  (dengan memilih baris ke-3 dan dilakukan operasi elementer K₃₁⁽¹⁾ dan K₄₁^(-2) maka didapat matriks sebagai berikut)                            

=   dengan ekspansi kofaktor sepanjang baris ke-3 maka diperoleh                                      

= (-1).(-1)³⁺¹ (dengan memilih baris ke-3 dan dilakukan operasi elementer K₁₃⁽³⁾ dan K₂₃⁽³⁾ maka didapat matriks sebagai berikut)                             

= - dengan ekspansi kofaktor sepanjang baris ke-3 maka diperoleh  = (-1).1.(-1)³⁺³ = -(-230 + 294) = - 64

SoalLatihan

1.         Hitunglah determinan dari matriks dibawah ini

a.                b.              c.

2.         Hitunglah determinan dari matrik dibawah ini :

a.         b.     c.

3.         Misal B =  , tentukanlah :

a.   Semua minornya

b.  Matrik kofaktornya

c.   Adjoin dari B

d.  Determinan dengan Metode Sarrus

e.   Determinan dengan ekspansi kofaktor sepanjang baris ke-2

f.   Determinan dengan ekspansi kofaktor sepanjang kolom ke-1

4.         Hitunglah determinan dari

a.       b. 

Kelas B (a₆₆ = 2 dan -2)

Kelas A (a₁₁ = 4  kalau nimnya genap = -4 )

Kelas C (a_{15 = 2 nim genap =-2)}

BAB III

MATRIK INVERS

Tujuan Instruksional Umum (TIU)

Mahasiswa mampu menguasai konsepsi dasar Matriks dan Transformasi Linier yang terdiri dari pokok bahasan Matriks, Determinan, SPL, Vektor dan Transformasi Linier sebagai pendukung ilmu pengetahuan dibidang komputasi.

Tujuan Instruksional Khusus (TIK)

Mahasiswa mampu menghitung invers matriks dengan adjoin dan dengan metode penyapuan.

Kata Kunci

Invers, adjoin, penyapuan

Media Pembelajaran

Dalam bab ini media pembelajaran yang digunakan meliputi :white board, spidol, LCD Proyektor, laptop.

3.1.       KONSEPSI MATRIKS INVERS

Definisi:

Sebuah matriks n x n dinamakan matriks elementer jika matriks tersebut dapat diperoleh dari matriks satuan (identitas) n x n dengan melakukan sebuah operasi baris elementer.

Contoh:

a.                                                                b.

(baris ke-2 I₂ dikalikan -2)                               (baris ke-3 dan baris ke-4 I₄ ditukar)

Definisi:

Invers dari matriks kuadrat A, ditulis A ^-1adalah suatu matriks yang memenuhi sifat A^-1.A = A.A^-1=  I

Matriks-matriks yang mempunyai invers adalah matrik yang non singular (determinannya tidak 0), dan bila inversnya ada maka inversnya adalah tunggal (hanya ada satu).

Sifat-sifat matriks invers adalah :

1.    (A^-1)^-1 = A

2.    (AB)^-1 = B^-1.A^-1

Contoh.

Carilah invers dari A=

Jawab.

Misalkan A^-1 =    maka akan berlaku A.A^-1=  I₂

Sehingga    =   , jika dikalikan akan diperoleh

 =   sehingga didapat persamaan seperti dibawah ini :

2a + c = 1 ……..(i)                              2b + d = 0 ……………….(ii)

4a + 3c = 0 ……(iii)                            4b + 3d = 1 ……………..(iv)                                                            

Setelah dilakukan subtitusi diperoleh a = 3/2 ; b= -1/2 ; c = -2 ;  d = 1

Sehingga A^-1 =  =  = ½

3.2.       MATRIKS INVERS DENGAN ADJOIN

Jika A adalah matriks yang dapat dibalik, maka

Contoh.

Carilah invers dari matriks A=

Jawab

det (A) = 64

Matriks kofaktor (A) =  

Adj(A)=  jadi  A^-1 = 1/64

3.3.       MATRIKS INVERS DENGAN METODE PENYAPUAN

Pencarian invers dengan metode penyapuan dilakukan dengan menambahkan matriks identitas disebelahnya matrik A sehingga ordo matrik berubah menjadi (nx2n) dan dengan transformasi elementer matriks [A│I_n] diubah menjadi matriks segitiga atas, setelah itu dengan transformasi elementer juga elemen-elemen yang terletak diatas diagonal utamanya dijadikan nol, sehingga dapat diperoleh yang tadinya matriks A menjadi matriks identitas dan yang semula matriks identitas menjadi matriks invers.

Contoh.

A = carilah matriks invers

Jawab.

1.     Mula - mula matriks tersebut dirangkai dengan matriks identitas dengan ordo yang sama.

2.     Tentukan Pivot dari matriks A yaitu A(1,1) jadikan A(1,1) menjadi 1 dengan membagi 2 untuk baris pertamaH₁^(1/2) :

3.     Gunakan operasi elementer H₂₁^(-3) untuk mengenolkan A(2,1) dan operasi elementer H₃₁^(-2)untuk mengenolkan A(3,1) menhasilkan matriks :

4.     Elemen A(2,2) sekarang menjadi pivot, untuk menolkan A(3,2).Untuk itu baris kedua dikalikan dengan -1 (H₂^(-1))

5.     Selanjutnya gunakan operasi elementer H₃₂⁽³⁾ untuk mengenolkan A(3,2).

6.     Elemen A(3, 3) dijadikan pivot, bagi baris ketiga dengan 7 (H₃^1/7)

7.     Elemen A (3,3) digunakan untuk menolkan A(2,3) dan A(1,3) menggunakan operasi elementer H₂₃^(-3) dan H₁₃^(-2)

8.     Terakhir gunakan elemen A(2,2) untuk menolkan A(1,2) mengunakan operasi elementer H₁₂^(-2)

9.     Matriks Invers A adalah

A^-1 = =1/14

Soal Latihan

1.    Diketahui  A =

a.    A^-1 dengan definisi A.A^-1 = I₂!

b.    A^-1 dengan Adjoin !

2.    Tentukan invers dari matriks-matriks dibawah ini dengan Adjoin

a.          b.      c.     d.

3.    Tentukan invers dari matriks-matriks dibawah ini dengan metode penyapuan

a.           b.     c.

d.