Matriks Aljabar dan Operasinya || Sistem Informasi (IT)

BAB I

MATRIK DAN OPERASINYA

Tujuan Instruksional Umum (TIU)

Mahasiswa mampu menguasai konsepsi dasar Matriks dan Transformasi Linier yang terdiri dari pokok bahasan Matriks, Determinan, SPL, Vektor dan Transformasi Linier sebagai pendukung ilmu pengetahuan dibidang komputasi.

Tujuan Instruksional Khusus (TIK)

Mahasiswa mampu mendefinisikan matriks, membedakan jenis-jenis matriks, malakukan operasi aljabar dan operasi elementer matriks.

Kata Kunci

Matriks, Operasi Aljabar, Jenis Matrik

Media Pembelajaran

Dalam bab ini media pembelajaran yang digunakan meliputi :white board, spidol, LCD Proyektor, laptop.

1.1.     KONSEPSI MATRIKS

Definisi secara umum:

Matrik adalah suatu himpunan bilangan yang berbentuk persegi panjang, atau matrik adalah himpunan saklar (bilangan riil atau bilangan kompleks) yang disusun secara empat persegi panjang menurut baris dan kolom atau suatu matriks adalah himpunan unsur-unsur yang disusun menurut baris dan kolom, sehingga berbentuk persegi panjang, dimana panjang dan lebarnya ditunjukkan oleh banyaknya kolom dan baris.

Notasi matriks biasanya menggunakan huruf besar A, B, C, …

Definisi secara khusus:

Misalkan A adalah suatu matriks yang terdiri dari m buah baris dan n buah kolom maka matriks A mempunyai ordo/dimensi/ukuran (mxn) dan a_ij merupakan elemen-elemen/unsur-unsur pada baris ke-I dan kolom ke-j dari matriks A maka secara lengkap sebuah matriks dapat ditulis dengan A=[ a_ij]

dimana a= elemen matriks

i= nomor baris= 1, 2, 3, …, m

j= nomor kolom= 1, 2, 3, …, n

Suatu matriks biasanya ditulis dengan A=[ ] atau A=( ) atau A= ||  || , sehingga elemen-elemen suatu matriks secara rinci dapat ditulis :

a11	a12	Ù	a1n
A = a21	a22	Ù	a2n
Ù	Ù	Ù	Ù
am1	am2	Ù	amn

Elemen a₁₁, a₂₂,…, a_nn disebut sebagai elemn-elemen yang terletak pada diagonal utama dari matriks A (yaitu elemn-elemen matriks dimana nomor baris dan kolomnya sama).

Contoh :

1	0	-1	4
A = 3	2	5	7
9	8	-2	6

Adalah suatu matriks A yang berordo (3x4) karena barisnya (m=3) adalah jumlah kolomnya (n=4)

Sedangkan elemen-elemen dari matriks tersebut adalah a₁₁=1, a₁₂=0, a₁₃= -1, a₁₄=4, a₂₁=3, a₂₂= 2, a₂₃=5, a₂₄=7, a₃₁= 9, a₃₂=8, a₃₃= -2, a₃₄= 6.

Dua matriks (matriks A=[ a_ij] dan matriks B=[ b_ij] dikatakan sama (A=B) jika kedua matriks tersebut mempunyai ordo yang sama (mxn) dan elemen-elemen yang bersangkutan (satu letak) didalam kedua matriks tersebut sama (a_ij=b_ij) untuk setiap i= 1,2,…, m dan j=1, 2, 3,…, n

Contoh :

D =

C =

B =

A =

,      ,          ,        

Disini A=B karena matriks A dan matriks B mempunyai ordo yang sama yaitu (2x2) dan semua elemen-elemennya juga sama, sedangkan A ≠ C dan matriks B ≠ C karena ordonya tidak sama dan matriks C ≠ D karena elemen-elemennya tidak sama.

1.2.     OPERASI ALJABAR MATRIKS

a.    Penjumlahan dan pengurangan matriks

Syaratnya adalah matriks yang akan dijumlahkan/dikurangkan harus mempunyai ordo yang sama.

Misalkan A=[ a_ij], B=[ b_ij], C=[c_ij]

Maka A ± B = C

 [ a_ij] ± [ b_ij]=[c_ij]

(Matriks C merupakan hasil penjumlahan/pengurangan dari matriks A dan B yang satu posisi/satu letak).

Contoh :

A =

B =

 ,       

Maka : A + B =  +  =  =

b.   Perkalian skalar dengan matriks

Kalau λ adalah skalar dan A= [ a_ij], maka λA= λ[ a_ij] = [λ a_ij] dengan kata lain bahwa semua elemen matriks A dikalikan dengan skalar λ.

Contoh :

λ = 2

A =

  maka λ A = 2A = 2    =  =

c.    Perkalian matriks dengan matriks

Syaratnya adalah jumlah kolom pada matriks pertama (misal matriks A) sama dengan jumlah baris pada matriks yang kedua (misal matriks B).

Definisi :

Jika A= [ a_ij] berordo (pxq) dan B=[ b_ij] berordo (qxr), maka perkalian matriks A dan matriks B menghasilkan matriks C=[c_ij] yang berukuran (pxr) dimana :

  A     x    B  =    C

(pxq)     (qxr)   (pxr)

Elemen-elemen dari hasil perkalian yaitu elemen-elemen matriks C (elemen c_ij) dapat dihitung dengan cara sebagai berikut :

c_ij = a_i1 b_1j +… + a_iq b_qj

c_{ij =} a_ik b_kj

untuk i = 1, 2, …, p    j =1, 2, …, r dan k= 1, 2, …, q

Contoh :

B =

A =

,       

(syarat : jumlah kolom matriks A adalah 2 dan jumlah baris matriks B adalah 2, sedangkan ordo matriks hasil perkalian adalah jumlah baris matriks A kali jumlah kolom matriks B yaitu ordonya 2x1).

Maka : A x B =  x   =  =

Beberapa hukum yang berlaku pada perkalian matriks :

1.    A(B+C) = AB+ AC, (B+C)A= BA + CA

2.    A(BC) = (AB)C

3.    Perkalian matriks tidak komutatif, artinya belum tentu AB = BA

4.    Jika AB = 0 (matriks nol) kemungkinannya adalah :

Ø A = 0 dan B = 0

Ø A = 0 atau B = 0

Ø A ≠ 0 dan B ≠ 0

5.    Bila AB = AC belum tentu B = C

1.3.     TRANSPOSE DARI SUATU MATRIKS

Definisi :

Jika suatu matriks A berordo m x n maka transpose dari matriks adalah A^T dimana matriks A^T berordo n x m. Atau transpose matriks A adalah mengubah baris matriks A menjadi kolom serta mengubah kolom matriks A menjadi baris.

Contoh :

B =

A =

              

Beberapa sifat matriks transpose :

Ø  (A+B)^T = A^T + B^T

Ø  (A^T)^T = A

Ø  λ (A^T) = (λA^T)

Ø  (AB)^T = B^T. A^T

1.4.     BEBERAPA JENIS MATRIKS KHUSUS

1.      Matriks Bujur Sangkar/Kuadrat (Square matrix)

Yaitu matriks yang mempunyai jumlah baris dan jumlah kolom yang sama, jadi m = n.

Contoh :

A =

2.      Matriks Nol (Null Matriks)

Yaitu matriks yang semua elemennya bernilai nol.

Contoh :

A =

3.      Matriks Diagonal (Diagonal Matrix)

Yaitu suatu matriks bujur sangkar yang semua elemen diluar diagonal utamanya adalah nol, jadi a_ij = 0 jika i ≠ j.

Contoh :

A =

4.      Matriks Identitas (Identity Matrix (In))

Yaitu matriks diagonal yang elemen diagonal utamanya semua 1.

Contoh :

I3 =

5.      Matriks Skalar (Scalar Matrix)

Yaitu matriks diagonal yang semua elemen diagonal utamanya = k (suatu bilangan/scalar).

C =

6.      Matriks Segitiga Bawah (Lower Triangular Matrix)

Yaitu matriks bujur sangkar yang semua elemen diatas diagonal utamanya = 0 yaitu a_ij = 0 jika i < j.

D =

7.      Matriks Segitiga Atas (Upper Triangular Matrix)

Yaitu matriks bujur sangkar yang semua elemen dibawah diagonal utamanya = 0, yaitu a_ij = 0 jika i > j.

E =

8.      Matriks Simetris/Setangkup (Symmetrix Matrix)

Yaitu matriks yang transposenya sama dengan dirinya sendiri atau A^T =  A atau suatu matriks bujur sangkar yang elemen-eleme pada baris ke-i dan kolom ke-j nilainya sama dengan elemen-elemen pada baris ke-j dan kolom ke-i atau [ a_ij] = [ a_ji].

Contoh :

F =

9.      Matriks Anti-Simetris/ miring setangkup ( Skew Symmetric Matrix)

Yaitu matriks yang transposenya sama dengan negatif dirinya sendiri atau       A^T =  -A, atau suatu matriks bujur sangkar yang elemen-elemen pada diagonal utamanya bernilai nol dan elemen-elemen diluar diagonal utamanya mempunyai hubungan [a_ij] = - [a_ji]

10.  Matriks Invers

Kalau matriks A dan B adalah bujur sangkar sehingga AB = BA = I_n maka dikatakan B invers dari matriks A biasanya ditulis dengan B = A^-1 sehingga dapat ditulis A.A^-1 = A^-1.A = I_n. Pembahasan matriks ini akan dibahas lebih lanjut dibab selanjutnya.

Catatan : tidak semua matriks bujur sangkar mempunyai invers. Sebuah matriks yang inversnya adalah dirinya sendiri dengan perkataan lain AA = I_n disebut matriks involutory.

11.  Matrik komutatif dan anti komutatif

Yaitu matriks A da B adalah suatu matriks dan berlaku AB = BA dan jika AB = -BA dinamakan matriks anti komutatif.

Contoh :

A =  dan B =  maka :

AB =  x  =  dan BA =  x   =

12.  Matriks Idempoten, Periodik, dan Nilpoten

Jika A adalah suatu matriks dan berlaku :

A² = A maka A dinamakan matriks idempoten.

A^p = A maka A dinamakan matriks periodik dengan periode (p-1).

A^r = 0 maka A dinamakan matriks nilpoten dengan indeks r (dimana r adalah bilangan bulat positif terkecil yang memenuhi hubungan tersebut).

Contoh matrik indeks :

A =

adalah matriks dengan indeks = 3

Karena A³ =  x   x 

=  x   =  = 0

1.5.     TRANSFORMASI ELEMENTER (OPERASI ELEMENTER)

Transformasi elementer pada baris atau kolom suatu matriks A adalah sebagai berikut :

1.        Menukar letak elemen baris ke-i dengan baris ke-j matriks A ditulis H_ij(A) atau H_ij dan menukar kolom ke-idengan kolom ke j matriks A ditulis K_ij(A) atau K_ij

Contoh :

A =  maka H₁₂(A) =   dan K₂₃(A) =

2.        Mengalikan baris ke-i dengan λ ≠ 0 dari matriks A ditulis H_i^(λ)(A) atau H_i^(λ) dan mengalikan kolom ke-i dengan λ ≠ 0 dari matriks A ditulis K_i^(λ)(A) atau K_i^(λ)

Contoh :

A =   maka H₁⁽²⁾(A) =  dan K₂^(-1)(A) =

3.        Menambah baris ke-i dengan λ kali baris ke-j matriks A ditulis H_ij^(λ)(A) atau H_ij^(λ) dan menambah kolom ke-i dengan λ kali kolom ke-jmatriks A ditulis K_ij^(λ)(A) atau K_ij^(λ)

Contoh :

A =  maka H₁₂^(-1)(A) =  dan K₃₂^(-1)(A) =

Catatan : Kadang-kadang operasi ke-2 dan ke-3 dapat dilakukan dalam satu langkah : menambah λ₁ kali baris ke-i dengan λ₂ kali baris ke-j matriks A ditulis H_i^(λ₁⁾ _j^(λ₂⁾ (A) atau H_i^(λ₁⁾ _j^(λ₂⁾ dan menambah λ₁ kali kolom ke-i dengan λ₂ kali kolom ke-j matriks A ditulis K_i^(λ₁⁾_j^(λ₂⁾ (A) atau K_i^(λ₁⁾_j^(λ₂⁾ .

Contoh :

A =  maka H₂⁽²⁾₃⁽¹⁾ (A) =

Misalkan diketahui matriks B merupakan hasil transformasi linear dari matriks A, maka dapat dicari matriks A, disebut invers dari transformasi elementer tersebut.

Contoh :

B = H₃₁⁽¹⁾(A) =  maka A =  = (B)

1.6.     RANK MATRIKS            

Rank dari suatu matriks menyatakan jumlah maksimum vektor-vektor baris/kolom yang bebas linear (tidak berkelipatan). Notasi rank matriks A adalah r(A).

Petunjuk mencari rank suatu matriks :

1.    Pilih salah satu baris yang bukan vektor nol, kemudian beri tanda (*). Pilih salah satu elemen pada baris tadi yang bukan nol, elemen itu dinamakan elemen pivot (untuk mempermudah perhitungan sedapat mungkin dipilih baris yang terdapat angka 1 atau -1 untuk digunakan sebagai pivot).

2.    Jadikan nol semua elemen yang sekolom dengan pivot dengan menggunakan transformasi elementer secara baris.

3.    Sekarang baris yang tadi tidak usah diperhatikan lagi. Perhatikan baris-baris yang tersisa, kemudian kerjakan langkah 1, 2, 3.

4.    Proses ini akan berakhir bila langkah 1 tidak dapat dikerjakan lagi, yaitu apabila semua baris telah bertanda (*) dan atau menjadi baris nol. Rank dari matriks tersebut adalah banyaknya baris yang bertanda (*) atau banyaknya baris dikurangi banyaknya baris yang menjadi baris nol.

Catatan :

Kalau hanya terdiri dari dua baris, maka jika berkelipatan maka rank= 1 tetapi jika tidak berkelipatan rank = 2

Contoh :

Matriks rank dari matriks A =  maka :

 H₂₁^(-2)   H₃₁^(-3)  H₃₂^(-1)

Karena sudah terdapat baris nol maka proses berhenti dan r(A) = 3 – 1 = 2

Soal latihan

1.        Diketahui A=    B =

Tentukan :

a.     2A – 3B      b. (3A – B)A   c. (2B – 4A)B

2.        Diketahui A=  dan B =  apakah AB komutatif ?

3.        A =  , B =  tentukan matriks C sedemikian sehingga AC = B

4.        A=

Tentukan :

a.       A² dan A³      b. Kalau f(x) = x³ – 3x² – 2x + 4I₂ maka tentukanlah f(A)

5.        Carilah harga a, b, c dan d jika :

3  =  +

6.        A =    dan B =   tentukan :

a.       (AB)^T             b. B^T . A^T         c. Apakah (AB)^T = B^T . A^T ?

7.        Tunjukkan bahwa A =    adalah matriks idempoten !

8.        Tunjukkan matriks A =   adalah matriks periodiks dan berapa periodenya !

9.       Matrik A =     carilah

a.     H₃₁^(-3)               b. K₁₃⁽²⁾            c. H₁₃^(-2)           d. H₂^(-1)₁⁽³⁾e. K₃^(-2)₂⁽²⁾